Александр Дмитриевич Евстигнеев родился 5 декабря 1925 года в Смоленске в семье рабочего. В 1936 году с семьей переехал в город Усолье-Сибирское Иркутской области. Окончил 5 классов местной школы, затем обучался в школе фабрично-заводского обучения № 4 при Иркутском авиационном заводе. Получив профессию слесаря, начал работать самостоятельно на оборонном заводе в городе Петровск-Забайкальский Читинской области.
В Красную Армию был призван в январе 1943 года после многочисленных просьб об отправке на фронт. С мая того же года в действующей армии.
Командир отделения 1230-го стрелкового полка 370-й стрелковой дивизии 69-й армии 1-го Белорусского фронта, младший сержант Евстигнеев отличился в боях за освобождение Белоруссии. 18 июля 1944 года в бою за урочище Волчище он первым ворвался в траншею противника и очередью ППШ сразил немецкого офицера и вслед за ним нескольких солдат.
На следующий день его полк вышел на государственную границу СССР западнее города Любомля. На рассвете 20 июля началась переправа через реку Западный Буг в районе населенного пункта Хусынне (восточнее города Хелм, Польша). Младший сержант Евстигнеев, взяв у четырех товарищей оружие, первым переплыл реку и огнем из автомата прикрывал переправу остальных бойцов роты. Небольшой группе удалось закрепиться на западном берегу. Путь остальным преградил огонь вражеского дзота. Александр обошел огневую точку с тыла и ворвался в дзот. Гитлеровский офицер, пытавшийся оказать сопротивление, был убит, а двое солдат сдались в плен.
Отличился Евстигнеев и при форсировании Вислы. Здесь он был тяжело ранен и эвакуирован в тыл. В госпитале узнал о присвоении высокого звания.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками младшему сержанту Евстигнееву Александру Дмитриевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7938).
После госпиталя вернулся в город Иркутск. Работал шофером, слесарем, но ранения и контузии не прошли бесследно. Евстигнеев тяжело заболел. В дни болезни он научился вышивке и полюбил это занятие.
Умер Александр Дмитриевич 24 мая 1962 года. Похоронен на Радищевском кладбище города Иркутска. К 55-й годовщине Победы на фасаде здания у центрального входа в училище, где постигал азы рабочей профессии А.Д.Евстигнеев, установлена мемориальная доска.
