Александр Петрович Квашнин родился в 1899 году в деревне Шелкудиновская Архангельской области. Окончив среднюю школу, работал на лесопильном заводе в Архангельске. В армии с 1919 года.
В 1920 году Александр Петрович окончил курсы красных командиров, а в 1927 году курсы "Выстрел". Участник гражданской войны, боев с японскими милитаристами у озера Хасан в 1938 г. и на реке Халхин-Гол в 1939 году.
На фронтах Великой Отечественной войны с июля 1941 г. 17-я гвардейская стрелковая дивизия (3-й Белорусский фронт) под командованием гвардии генерал-майора Квашнина 13-28.01.45 в ходе Восточно-Прусской операции с боями прошла более 170 км, разгромив 7 пехотных полков и уничтожив много боевой техники противника.
Звание Героя Советского Союза Александру Петровичу Квашнину присвоено 19.04.1945 года. Награжден 2 орденами Ленина, 4 - Красного Знамени, 2 - Суворова 2-й степени, орденами Кутузова 2-й степени, Красной Звезды, медалями.
